Pi Greco

Pi GReco

"Il cinema è la verità a 24 fotogrammi per secondo" 

(Jean Luc Godard)

La costante matematica π (si scrive pi dove le lettere greche non sono disponibili) è utilizzata moltissimo in matematica e fisica. Nella geometria piana, π viene definito come il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio, o anche come l'area di un cerchio di raggio 1. Molti libri moderni di analisi matematica definiscono π usando le funzioni trigonometriche, per esempio come il più piccolo numero strettamente positivo per cui sen(x)=0 oppure il più piccolo numero che diviso per 2 annulla cos(x). Tutte le definizioni sono equivalenti.

π è conosciuto anche come la costante di Archimede (da non confondere con i numeri di Archimede), la costante di Ludolph o numero di Ludolph. Contrariamente ad un'idea comune, π non è una costante fisica o naturale, quanto piuttosto una costante matematica definita in modo astratto, indipendente dalle misure di carattere fisico.

Le prime 64 cifre decimali di π sono (Sequenza A000796 dell'OEIS) :

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 592...

π è un numero irrazionale, non può cioè essere scritto come quoziente di due interi, come dimostrato nel 1761 daJohann Heinrich Lambert. Inoltre, è un numero trascendente (ovvero non è un numero algebrico): questo fatto è stato provato da Ferdinand von Lindemann nel 1882. Questo significa che non ci sono polinomi con coefficienti interi o razionali di cui π è radice. Di conseguenza, è impossibile esprimere π usando un numero finito di interi, di frazioni e delle loro radici.

Questo risultato stabilisce l'impossibilità della quadratura del cerchio, cioè la costruzione, con soli riga e compasso, di un quadrato della stessa area di un dato cerchio.

La spirale logaritmica è intimamente legata ai numeri di Fibonacci (Pisa 1180-1250), in cui ogni termine è dato dalla somma dei due precedenti: 1,1,2,3,5,8,.... La sua scoperta risale al 1202.La particolarità tra questi numeri è che il rapporto tra due termini successivi si avvicina molto rapidamente al numero decimale 0,618 è una approssimazione, è noto con il nome di numero Aureo, e viene definito come il rapporto della sezione aurea, o proporzione aurea. Tale rapporto è stato considerato, sin dalla sua scoperta, come rappresentazione della legge universale dell'armonia.

La sezione aurea o rapporto aureo o numero aureo o costante di Fidia o proporzione divina, nell'ambito delle arti figurative e della matematica, indica il rapporto fra due lunghezze disuguali, delle quali la maggiore è medio proporzionale tra la minore e la somma delle due. Lo stesso rapporto esiste anche tra la lunghezza minore e la loro differenza.

In formule, indicando con a la lunghezza maggiore e con b la lunghezza minore, vale la relazione:

(a+b) : a = a : b = b : (a-b)

Tale rapporto vale approssimativamente 1,6180 ed è esprimibile per mezzo della formula:

Il valore così definito, che esprime la sezione aurea, è un numero irrazionale (cioè non rappresentabile come frazione di numeri interi) e algebrico (ovvero soluzione di un'equazione polinomiale a coefficienti interi). Esso può essere approssimato, con crescente precisione, dai rapporti fra due termini successivi della successione di Fibonacci, a cui è strettamente collegato.

Sia le sue proprietà geometriche e matematiche, che la frequente riproposizione in svariati contesti naturali e culturali, apparentemente non collegati tra loro, hanno impressionato nei secoli la mente dell'uomo, che è arrivato a cogliervi col tempo un ideale di bellezza e armonia, spingendosi a ricercarlo e, in alcuni casi, a ricrearlo nell'ambiente antropico quale "canone di bellezza"; testimonianza ne è forse la storia del nome che in epoche più recenti ha assunto gli appellativi di "aureo" o "divino", proprio a dimostrazione del fascino esercitato.

Lavorando sulle successioni inoltre è possibile ricavare una sorta di spirale, spesso confusa con la spirale aurea, anch'essa legata all'omonima sezione, ma di cui questa rappresenta soltanto una buona approssimazione formata da quarti di cerchio; così come avviene nel caso rettangolo, dove in questo caso la spirale approssimante , si avvicina a quella aurea, a volte tangendola e altre sovrapponendosi^[22] ed entrambe tendendo verso un polo asintotico coincidente con lo stesso «occhio di Dio».

Sempre in ambito geometrico la sezione aurea trova un ruolo importante anche nella composizione di alcuni frattali, ove adottandolo come coefficiente diomotetia sarebbe in grado di assicurare la massima frattalizzazione della figura prima che le sue parti inizino a sovrapporsi. Nel caso dei frattali che riescono a simulare forme naturali, come un albero, per esempio, che rappresenta il grado di ottimalità massima per ottenere la maggiore superficie di chioma senza sovrapposizione; a tal proposito prende proprio il nome di albero aureo^[23], una particolare forma di albero di Barnsley con valore pari a Φ^[24].

 Silloge delle dottrine pitagoriche ca. 300 d.C.:

«Dicono che il primo che divulgò la natura della commensurabilità e dell'incommensurabilità a chi non era degno di conoscere tale teoria si attirò un tale disprezzo che non solo lo si bandi dalla vita in comune e dalle associazioni [pitagoriche], ma fu costruita la sua tomba...»

Nel Novecento le avanguardie della musica colta e molti tra gli eredi del serialismo, come i già citati Karlheinz Stockhausen, György Ligeti e Iannis Xenakis, invece applicarono sistematicamente e intenzionalmente - differentemente dalla maggioranza dei loro predecessori - i numeri di Fibonacci alla musica, approfondendone lo studio e la conoscenza e facendo evolvere i precedenti utilizzi della matematica in musica, hanno introdotto un utilizzo più strutturato della matematica (soprattutto il calcolo delle probabilità e del computer per la composizione musicale). Xenakis in particolare ha fondato a tale fine, a Parigi nel 1972, un gruppo di ricerca universitario chiamato CEMAMU, che ha appunto come obiettivo l’applicazione delle conoscenze scientifiche moderne e del computer alla composizione musicale e alla creazione di nuovi suoni tramite sintetizzatori.

Anche la musica Rock, specialmente nel cosiddetto rock progressivo, si è confrontata con gli aspetti mistico-esoterici della sezione aurea, e più precisamente dalla serie di Fibonacci. L’esempio più emblematico è la musica dei Genesis, che hanno usato assiduamente la serie fibonacciana nella costruzione armonico-temporale dei loro brani: Firth of Fifth è tutto basato su numeri aurei: ad esempio ci sono assoli di 55, 34, 13 battute, di questi alcuni sono formati da 144 note, etc. Oltre ai Genesis, altre rock band hanno usato, seppure più sporadicamente, i numeri aurei nelle loro composizioni. Fra questi i Deep Purple nel brano Child in Time e i Dream Theater nell'album Octavarium, interamente concepito secondo il rapporto tra i numeri 8 e 5 e termini consecutivi della sequenza di Fibonacci. Risale invece al 2001 Lateralus album della band americana Tool che contiene il singolo omonimo "Lateralus" costruito fedelmente sulla serie di Fibonacci: i Tool fanno un sapiente uso dei primi elementi della successione di Fibonacci: contando infatti le sillabe della prima strofa si ottiene 1,1,2,3,5,8,5,3,2,1,1,2,3,5,8,13,8,5,3. Da notare che la canzone fa un continuo riferimento alla figura della spirale ([...] To swing on the spiral [...] Spiral out. Keep going [...]).

Aforismi Leonardo Da Vinci

• A torto si lamentano li omini della innocente esperienzia, quella accusando di fallacie e di bugiarde dimonstrazioni. (Codice Atlantico, 154)
• Acquista cosa nella tua gioventù che ristori il danno della tua vecchiezza. E se tu intendi la vecchiezza aver per suo cibo la sapienza, adoprati in tal modo in gioventù, che a tal vecchiezza non manchi il nutrimento.
• Amor onni cosa vince. (Codice Atlantico)
• Chi altri offende, sé non sicura.
• Chi biasima la somma certezza delle matematiche si pasce di confusione, e mai porrà silenzio alle contradizioni delle sofistiche scienzie, colle quali s'impara uno eterno gridore.
• Chi disputa allegando l'autorità, non adopra lo 'ngegno, ma più tosto la memoria. (Codice Atlantico, 76)
• Chi non punisce il male, comanda che si facci.
• Chi non raffrena la volontà colle bestie s'accompagni.
• Chi non stima la vita, non la merita. (Codice I, 15)
• Chi poco pensa molto erra. (Codice H, 119)
• Chi tempo ha e tempo aspetta, perde l'amico e danari non ha mai. (Codice Atlantico, 4)
• Chi vol essere ricco in un dì è impiccato in un anno.
• Come è più difficile a 'ntendere l'opere di natura che un libro d'un poeta.
• Costanzia: non chi comincia, ma quel che persevera.
• Dimanda consiglio a chi ben si corregge.
• Iddio ci vende tutti li beni per prezzo di fatica.
• Il moto è causa d'ogni vita. (Codice Trivulziano, 36)
• Gola è mantenimento della vita. (Codice H, 32)
• L'acqua che tocchi de' fiumi è l'ultima di quella che andò e la prima di quella che viene. Così il tempo presente.
• L'anima desidera stare col suo corpo, perché, sanza li strumenti organici di tal corpo, nulla può oprare né sentire.
• L'età che vola discorre nascostamente e inganna altrui, e niuna cosa è più veloce che gli anni, e chi semina virtù fama raccoglie.
• L'uomo ha grande discorso del quale la più parte è vano e falso, li animali l'hanno piccolo ma è utile e vero; e meglio è la piccola certezza che la gran bugia.
• La Meccanica è il paradiso delle scienze matematiche, perché con quella si viene al frutto matematico.
• La natura è piena d'infinite ragioni, che non furon mai in isperienzia.
• La paura nasce più tosto che altra cosa. (Codice L, 90)
• La sapienza è figliola della sperienzia. (Codice Forster III)
• La scienza è il capitano, e la pratica sono i soldati.
• La somma filicità sarà somma cagione della infelicità, e la perfezion della sapienza cagion della stoltizia.
• La verità sola fu figliola del tempo. (Codice M, 58)
• La vita bene spesa lunga è.
• Lussuria è causa della generazione. (Codice H, 32)
• Nessuna azione naturale si po' abreviare. (Codice Atlantico)
• Nissuna umana investigazione si pò dimandare vera scienzia s'essa non passa per le matematiche dimostrazioni, e se tu dirai che le scienzie, che principiano e finiscono nella mente, abbiano verità, questo non si concede, ma si niega, per molte ragioni, e prima, che in tali discorsi mentali non accade esperienzia, sanza la quale nulla dà di sé certezza.
• Nessuno effetto è in natura sanza ragione; intendi la ragione e non ti bisogna sperienza.
• No' si volta chi a stella è fisso.
• Non si po' aver ragione né minor signoria che quella di se medesimo.
• O studianti, studiate le matematiche, e non edificate sanza fondamenti.
• Ogni nostra cognizione prencipia da sentimenti. (Codice Trivulziano, 20)
• Più facilmente si contasta al principio che alla fine.
• Quelli che s'innamoran di pratica sanza scienzia son come 'l nocchier ch'entra in navilio senza timone o bussola, che mai ha certezza dove si vada.
• Questo omo ha una somma pazzia, cioè che sempre stenta per non istentare, e la vita se li fugge sotto speranza di godere i beni con somma fatica acquistati.
• Questo per isperienza è provato, che chi non si fida mai sarà ingannato. (Codice Atlantico)
• Raro cade chi ben cammina. (Codice Atlantico)
• Reprendi l'amico tuo in segreto e laldalo in paleso. (Codice H, 16)
• Sì come ogni regno in sé diviso è disfatto, così ogni ingegno diviso in diversi studi si confonde e indebolisce.
• Sì come una giornata bene spesa dà lieto dormire, così una vita bene usata dà lieto morire. (Codice Trivulziano)
• Tristo è quel discepolo che non avanza il suo maestro. (Codice Forster III)
• Una volta che abbiate conosciuto il volo, camminerete sulla terra guardando il cielo, perché là siete stati e là desidererete tornare.
• Un vaso rotto crudo si può riformare, ma il cotto no. (Codice Trivulziano, 38)
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Opera di Alex Grey
L'uffizio del muscolo è di tirare e non di spingere, eccetto li membri genitali e la lingua.
 (da De vocie; citato in Edmondo Solmi, Il trattato di Leonardo da Vinci sul linguaggio «De vocie», in Archivio storico lombardo, VI, 1906)

Child in Time
Deep Purple primo pezzo da me messo su vinile

A sculpture by German 'plastinator' Gunther von Hagens is pictured during a press conference as he unveils his new sex plastinates for his Body Worlds exhibition 'Body Worlds & The Mirror of Time' at the O2, in east London, on June 23, 2009. The exhibition runs until August 23.